A Bures és a Hellinger távolság egy paraméteres kiterjesztése, és trace karakterizációk

A Bures és a Hellinger metrika, ami mátrixalgebrák pozitív kúpjain megadott távolságfogalom, fontos szerepet játszik a kvantuminformáció-elméletben. Ezen két metrikában a számtani közép mellett megjelenik egy-egy geometriai-közép-szerű művelet, melyek műveletek egy paraméteres családjává egészíthetők ki természetes módon (ez a család fellelhető a kvantum Rényi relatív entrópia egy Audenaert-Datta-tól származó variánsában is). Ily módon kapjuk lehetséges távolságmértékeknek egy paraméteres családját, melyben a p=1 eset jelenti a Hellinger távolságot, a p=2 eset pedig a Bures távolságot.

A dolgozatban először ezt a függvénysereget vizsgáljuk operátoralgebrák (C*-algebrák, von Neumann algebrák) pozitív kúpjain. Belátjuk, hogy ha a paraméterre p>2 teljesül, akkor távolságmértékünk pontosan akkor lesz igazi metrika, ha az alapul vett operátoralgebra kommutatív.

A p kisebb-egyenlő mint 2 esetben megmutatjuk, hogy Hilbert tér tiszta állapotainak halmazán (egyrangú projekcióinak összességén) távolságmértékünk valóban metrika. Általános sejtésünk az, hogy 1-nél kisebb esetben nem, 1 és 2 között azonban távolságmértékünk tetszőleges pozitív kúpon igazi metrika.

Egy, az irodalomban ismert eredményből (, ami szerint mátrixalgebra pozitív kúpján az ún. szimmetrikus Stein divergencia négyzetgyöke valódi metrika,) levezethető, hogy ha fentebb a számtani közepet és a vizsgált egyparaméteres családunk tagjait azok logaritmusaival helyettesítjük, akkor tetszőleges paraméterértékre mátrixalgebrák esetén valódi metrikát kapunk. Ennek hátterében az áll, hogy az említett algebrák esetén a log◦det és a trace◦log megegyezik, amiből következik, hogy a paraméteres családunkhoz tartozó műveletek trace◦log-jai mind egybeesnek. Dolgozatunkban belátjuk, hogy ezen tulajdonság a pozitív lineáris funkcionálok között kitünteti a trace-t. Absztrakt operátoralgebrai környezetben belátjuk, hogy tetszőleges olyan pozitív lineáris funkcionál, amely két különböző paraméterérték esetén műveleteink logaritmusain ugyanazon értéket veszi fel, szükségképpen egy trace. Hasonló eredményt nyerünk a klasszikus Kubo-Ando geometriai közép és egy tetszőleges, a paraméteres családunkhoz tartozó „közép” esetének vonatkozásában is.

A bemutatandó eredmények többsége részét képezi egy, a témavezetővel közös, a J. Math. Anal. Appl. folyóirat különszámába való benyújtásra felkért cikknek, aminek megírása jelenleg folyamatban van.

szerző

Komálovics Ábel
Alkalmazott matematikus mesterképzési szak (MSc)
mesterképzés (MA/MSc)

konzulens

Dr. Molnár Lajos
egyetemi tanár, Analízis Tanszék